2020 数学分析(华东交通大学) 最新满分章节测试答案
- 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元测验
- 【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元作业
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- 第十八章 隐函数定理及其应用 第三单元 第十八章 隐函数定理及其应用 第三单元测验
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第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元测验
1、 问题:平面点集的非孤立界点必是
选项:
A:内点
B:外点
C:聚点
D:孤立点
答案: 【聚点】
2、 问题:平面点集的外点必是
选项:
A:聚点
B:孤立点
C:界点
D:其他选项都不对
答案: 【其他选项都不对】
3、 问题:下面哪个选项不可能是二元函数的图像
选项:
A:坐标平面
B:平面上的点集
C:坐标轴
D:三维空间中的球面
答案: 【三维空间中的球面】
4、 问题:开集中的点可能是
选项:
A:集合的内点
B:集合的外点
C:集合的聚点
D:集合的界点
答案: 【集合的内点;
集合的聚点】
5、 问题:非空域中的点可能是
选项:
A:集合的内点
B:集合的界点
C:集合的外点
D:集合的聚点
答案: 【集合的内点;
集合的界点;
集合的聚点】
6、 问题:二元函数的定义域可能是
选项:
A:平面上的曲线
B:平面上的闭集
C:三维空间上的球及其内部
D:三维空间上的立方体
答案: 【平面上的曲线;
平面上的闭集】
7、 问题:平面上点的空心邻域是
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
8、 问题:平面上点的空心邻域是
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
9、 问题:闭域一定是连通闭集
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
10、 问题:连通开集一定是开域
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
11、 问题:闭域套定理相应的开域套定理仍成立
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
12、 问题:无界点集必有聚点
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
13、 问题:有界点集的任意开覆盖必有有限子覆盖
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
14、 问题:有界闭集的任意开集覆盖必有有限子覆盖
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
15、 问题:平面点集的聚点一定属于该点集
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元作业
1、 问题:设,,且在附近有. 证明
评分规则: 【 由,对任意,存在,当时,
由,对上述,存在正数,当时,
取,在邻域上,,所以
】
2、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时,不存在,所以累次极限不存在
同理另一个累次极限也不存在
而,所以重极限存在,为0
】
3、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时,,所以累次极限
时,,所以累次极限
, ,所以重极限不存在
】
4、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时,不存在,所以累次极限等于0
同理另一个累次极限也为0
, 所以重极限不存在
】
5、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部保号性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限且,则存在邻域,在上恒大于0
利用极限定义,取,则存在邻域,在上
那么在上,
】
6、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限, 则存在邻域,在上有界
利用极限定义,取,则存在邻域,在上
那么在上,
】
7、 问题:叙述并证明二元函数极限的唯一性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限, 则极限值唯一
反证,假设极限值不唯一,即有两个不同的实数都是在点处的极限
不妨设,利用极限定义,取,则存在邻域,在上, 所以有
对上述的,存在邻域,在上, 所以有
取, 在邻域上,,矛盾,所以极限值必唯一
】
【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元作业
1、 问题:已知,求
评分规则: 【
】
2、 问题:设,若当时,,求函数和.
评分规则: 【
】
3、 问题:求函数的定义域,其中
评分规则: 【
】
4、 问题:证明开集的余集为闭集
评分规则: 【 设为开集,对的任意聚点,要证明,即要证明不属于
反证,假设,由开,存在,使
由是的聚点,对任意,
两者矛盾,所以反证假设不成立,即不属于,所以,由的任意性,是闭集.
】
5、 问题:证明开集的并和交仍是开集
评分规则: 【 都是开集,对任意的,即且
所以,存在,使得,
令,则,所以是的内点,由的任意性,开
对任意的,即或
所以,存在,使得,
所以, 所以是的内点,由的任意性,开
】
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