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本课程起止时间为:2021-08-22到2022-01-20
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1. 集合论 第二章单元测验

1、 问题:有限集的基数是唯一的。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

2、 问题:若A是非空集合,则A和由A的一切子集所构成的集族对等。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误

3、 问题:设0
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

4、 问题:设, 则
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

5、 问题:设A,B是两个集合,则一定成立。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误

6、 问题:设A是一个不可数集合,B是A的有限子集或可数子集,则A\B~A.
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

7、 问题:设a正确】

8、 问题:R上的增函数的不连续点最多只有可数多个.
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

9、 问题:1. 集合序列的下极限为___.
答案: 【(0,1]

10、 问题:1. R中一切开区间的全体记为G,则G的基数为___。
答案: 【(以下答案任选其一都对)c;
C;
阿列夫

【作业】1. 集合论 第二章单元作业

1、 问题:设 求集列的上极限和下极限。
评分规则: 【 (1)先证对任意存在N,使得, 使得当n>N时,有0, ,即. 而显然,得证。(2)若有, 则存在N使得对任意n>N,. 当2n-1>N时,, 则当n趋于无穷时由,矛盾。

2、 问题:设A是一个集合,是两个集列,证明.
评分规则: 【 对任意,恒有, 所以.

3、 问题:证明R上的单调递增函数的不连续点的全体为可数集。
评分规则: 【为单增函数f(x)的不连续点,则,故对应一个开区间. 而两个不同的不连续点对应的开区间互不相交,而实数轴上的互不相交的开区间族所成的集合是可数集。

4、 问题:设证明存在, 使得.
评分规则: 【, 由此知存在不属于B,使得。 这是因为否则就有, 使得, 即,矛盾。证毕。

5、 问题:设f(x),g(x)是定义在E上的函数,证明
评分规则: 【 由于是单调递增集列,故

2. 点集 第二章单元测验

1、 问题:设, 若E’是可数集,则E是可数集。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

2、 问题:设, 则一定存在 使得.
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误

3、 问题:中的开球的闭包是.
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

4、 问题:函数的不连续点集不是闭集。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

5、 问题:设A,B是R中的点集,则等式一定成立。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误

6、 问题:若中的点都是孤立点,则E是闭集。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误

7、 问题:实数集R不可以表示为可数个互不相交的闭区间的并。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

8、 问题:设, 则中的闭集。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

9、 问题:点集的导集E’=__.
答案: 【(以下答案任选其一都对)1;
{1}

10、 问题:设则E的闭包=______.
答案: 【[0,1]

【作业】2. 点集 第二章单元作业

1、 问题:设,证明是包含E的一切闭集F的交,即.
评分规则: 【 (i)显然, 故, 因为是闭集,所以。(ii)由于是闭集,故, 结论得证。

2、 问题:证明集合是闭集当且仅当.
评分规则: 【 必要性:若 则对任一, 存在,由此知 又因为F是闭集,所以.充分性:设 则存在 易知. 因为否则, 故,矛盾。证毕。

3、 问题:设是两个开集,且 证明
评分规则: 【 反证法. 假设 即存在, 由于, 又的内点,故存在, 使得, 可得不属于,出现矛盾。证毕

4、 问题:证明:若是孤立点集,则存在开集G,闭集F,使得.
评分规则: 【, 则F是闭集, 令, 则G是开集,又由题设知, 所以.

5、 问题:设是非空完备集,证明对任意的 存在, 使得x-y为无理数。
评分规则: 【 因为,所以对任意的是不可数集合,由此可知必存在,使得不属于有理数集。

3. 测度论 单元测验

1、 问题:可测集的测度是
选项:
A:其外包开集测度的下确界。
B:内填紧集测度的上确界。
C:一个非负广义实数。
D:是区间长度、面积、或者体积的推广。
答案: 【其外包开集测度的下确界。;
内填紧集测度的上确界。;
一个非负广义实数。

2、 问题:可数点集的外测度为零。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

3、 问题:如果集合是可测集,则,是可测集。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【正确

4、 问题:中的零测度集,则一定为可测集。
选项:
A:正确
B:错误
答案: 【错误

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